Heute gehen wir einmal zurück in die 6. Klasse. Erinnert Ihr euch an das nette Zahlenrätsel „Vier Vieren“? Ich habe es verdrängt, wahrscheinlich weil ich damals an der Lösung jämmerlich gescheitert bin!
Aber, ein paar Jahre später kann man sich das Problem ja noch mal vornehmen. Es geht um genau 4 Vieren. Zwischen die Vieren können wir beliebige Grundrechenarten notieren. Auch sind Klammern an beliebiger Stelle und in beliebiger Anzahl erlaubt. Es entsteht also ein Term nur mit der Zahl 4. Ziel ist es nun alle ganzen Zahlen zwischen von 0 bis 9 mit solchen Termen zu beschreiben. Ein Beispiel über 9 wäre (4-(4/4))*4 = 12. Ich lasse jetzt mal ein wenig Platz im Text, bevor ich die Lösung präsentiere. Das erste Mal bei geilemathe.de gibt es also einen Spoiler-Freiraum. Wer Lust hat, kann die 10 Terme ja für sich oder mit Freunden bei einem Glas Rotwein berechnen.
++++++ ACHTUNG: Erst selber rechnen, dann scrollen!! +++++++
+++++++ Die Lösungen ++++++
0 = (4-4) + (4-4) 1 = (4:4) : (4:4) 2 = (4:4) + (4:4) 3 = (4+4+4) / 4
4 = 4 + ((4-4) / 4) 5 = ((4*4) + 4) / 4 6 = 4 + (4+4) : 4 7 = (4+4) – (4:4)
8 = (4-4) + (4+4) 9 = 4 + 4 + (4:4)
Was so ein paar Klammern alles ausmachen können! Ich bin sicher, das Tüfteln hat euch genauso viel Freude bereitet wie mir. Schade ist dann immer, dass der Spaß irgendwann vorbei ist.
Deshalb stellen wir uns die Frage, ob das Zahlenspiel auch mit anderen Zahlen funktioniert, etwa mit 4 Fünfen oder 4 Fünfhundertdreiundzwanzigern. Dazu nehmen wir die Vieren aus den Termen und ersetzen sie durch ein a. Das soll stellvertretend für jede beliebige rationale Zahl ungleich 0 sein. Man erhält etwas Erstaunliches:
(a-a) + (a-a) => 0 = 0 => 0
(a:a) : (a:a) => 1 : 1 => 1
(a:a) + (a:a) => 1 + 1 => 2
(a+a+a) / a => 3a / a => 3
a + ((a-a) / a) => a + (0/a) => a
((a*a) + a) / a => (a²+a)/a => a+1
a + (a+a) : a => a + 2a/a => a+2
(a+a) – (a:a) => 2a – 1
(a-a) + (a+a) => 0 + 2a => 2a
a + a + (a:a) => a + a + 1 => 2a + 1
Egal, welche Zahl für a eingesetzt wird, die ersten vier Terme liefern immer die Zahlen 0,1,2,3. Der vierte Term liefert immer die Zahl selber, bei den beiden weiteren wird 1 bzw. 2 auf die Zahl selbst addiert. Die letzten 3 Term bieten das Doppelte der Zahl vermindert um 1, das Doppelte und das Doppelte erhöht um 1.
Damit haben wir gezeigt, dass diese 10 Terme, die für die 4 die Zahlen 0 bis 9 liefern, nur mit der 4 funktionieren. Denn der 5. Term muss eine 4 liefern und das funktioniert nur, wenn a gleich 4 ist.
An dieser Stelle erwarte ich nun die einzig wirklich blöde Frage, die es gibt: „Wozu braucht man das denn?“. Die Antwort ist in diesem Fall sehr einfach. Für die Hausaufgaben, die ihr jetzt bekommt. Nennt das Spiel einmal um. Es jetzt heißen „5 Fünfer“. Kann man damit ebenfalls alle natürlichen Zahlen von 0 bis 9 darstellen? Wenn ja wie und wenn nicht warum. Eure Antworten könnt Ihr gerne in den Kommentar schreiben.
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