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30% Einser – Das seltsame Gesetz von Benford

Das seltsame Gesetz von Benford. Handgemalt mit Photoshop von Joe Freiburg. Veröffentlicht auf www.geilemathe.de

„Wer braucht schon Mathe im Leben?“ ist die vermutlich häufigst gesellte Frage in der Schule. Die einzig wahre Antwort darauf ist: „Das Leben ist Mathe, demzufolge braucht der Leben Mathe und damit brauchen wir es alle!“ Daher gesagter Firlefanz? Ne, ne, Realität, absolut faszinierende Realität!

Der Zufall, so es ihn dann gibt, verursacht häufig Entdeckungen, die später in der Schule von Lehrern mit einer solchen Selbstverständlichkeit präsentiert werden, dass sich alle fragen: „Wie kommt man denn auf sowas?“. Na ja, häufig durch glückliche Fügungen. Ein Beispiel: Der Legende nach musste der amerikanische Physiker Frank Benford einmal aufgrund physikalischer Berechnungen einen Logarithmus nachschlagen. Damals, anfang des 20. Jahrhunderts, gab es weder Taschenrechner noch Computer. Für die Logarithmen wurden Bücher mit Tabellen voller Zahlen gedruckt. Benford nahm also das Buch und erkannte aus Zufall, so es ihn dann gibt, dass im ersten Teil des Buches jede Menge abgeknickter Seiten waren (Eselsohren). Nach hinten hin glätteten sich die Seiten, so als sei das Buch dort ungenutzt. Benford vermutete, dass offenbar die Zahlen mit niedrigeren Anfangsziffern vorne im Buch sehr viel häufiger nachgeschlagen wurden. So entstehen Ideen!

Er überprüfte darauf hin Artikel in Zeitungen, Abhandlungen, Erhebungen, eben alles, was ihm in die Finger kam, und zählte akribisch die dort abgedruckten Zahlen. Er notierte jeweils die ersten Ziffer und bemerkte, dass es eine absolute regelmäßige Verteilung gab. Zahlen mit führender 1 erschienen mit rund 30%, Zahlen mit führender 9 gerade mal mit rund 4% Häufigkeit.

In sehr vielen Bereichen funktioniert diese Verteilung perfekt. Ich habe das an einigen Beispielen aus dem Fußball einmal ausprobiert.  

Alle Zahlen in einer Sammlung von BVB-Beiträgen mit der Gesamtlänge von 240.000 Zeichen. 258 Zahlen: 82 (rund 32%) Einsen, 11 (rund 4,5%) Neunen.

Die zweite Seite eines Fanshop-Werbeblatts: 140 Zahlen: 49 (ca. 35%) Einsen, 5 (ca. 3,5%) Neunen.

Aus der Fußball-Bundesliga: Alle bis zum Ende der Saison 2014/15 erzielten Tore der beteiligten Mannschaften. 15854 Spiele, bei denen zwei Mannschaften Tore erzielten, also 31708 Ergebnisse. 10092 mal erzielte eine Mannschaft 1 Tor – oder 10, 11 und 12, führende Ziffer ist 1 – (31,8%) und 12 mal 9 Tore (sogar nur 0,04%).

Übrigens, für das gesunde Halbwissen am Rande notiert:  In der gesamten Geschichte der Bundesliga wurden in einem Spiel maximal 12 Tore erzielt (8:4, 9:3, zweimal 11:1 und 12:0). Der BVB war an 4 der 5 Spiele beteiligt, zwei Siege zwei Niederlagen). Daraus abzuleiten, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 12 Tore in einem Spiel erzielt werden, gleich 0 ist oder dass die Wahrscheinlichkeit für zukünftige Spiele mit 12 Toren 80% ist, dass der BVB mitgespielt hat, ist sehr falsch!

Zurück zu Benford. Das eigentlich Spannende ist, dass die Realität sich ausrichtet nach einem Zahlenverteilungsgesetz, die Welt folgt der Mathematik! Zwar ist Benfords Gesetz meines Wissens nach bis heute nicht mathematisch Bewiesen, aber aus empirischer Sicht funktioniert das blendend, wobei ich nicht unterschlagen darf, dass es natürlich auch Zahlenanhäufungen gibt, die dem Gesetz nicht folgen. Möglicherweise aber nur deshalb, weil die Entwicklung der Zahlen künstlich unterbrochen wurde. Noch einmal das Beispiel Bundesliga.  Notiert man die Tore, die die Mannschaften am Ende der Saison erzielt oder kassiert haben, wird man die Eine mit der Lupe suchen müssen. Tasmania Berlin schaffte es in ihrer einzigen Saison auf 15 geschossene und 108 kassierte Tore. Kickers Offenbach bekam 1983/84 106 Tore eingeschenkt. Dazu kommt eine Art Mannschaft, die es sehr selten auf mehr als 100 geschossene Tore brachte, aber der Name dieser Anhäufung von Lederhosenjodler ist mir leider entfallen.  Wenn die jeweilige Saison nicht nach 30, 34 oder 38 Spieltagen beendet worden wäre, würde die 1 ganz automatisch in Führung gehen, dann, wenn die Hundert Tore überschritten würde.

Und jetzt noch der praktische Tipp am Schluss für Personen mit krimineller Energie, die ihre Steuererklärung oder ihre Buchhaltung zu ihren Gunsten schönen! Wer Zahlen hinzufügt, weglässt oder verändert, sollte Benfords Gesetz folgen. Die Fahnder gegen Hinterziehung von Geld jeglicher Art fangen immer damit an, die Zahlenverteilung zu berechnen. Kleine Unstimmigkeiten führen dazu, dass der Kontrolleur stutzig wird, die Strafe hoch und die Frage, wofür man im Leben eigentlich Mathe braucht, beantwortet wurde!

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